和差化积，积化和差

简单的三角函数公式推导，用了级数。

欧拉公式巧妙地将几个数学常数链接在了一起，架起了一座跨越实数和复数的大桥。

讲实话，复数在很多时候简化了复杂的三角函数运算。

本篇用来测试主题性能，和显示效果。

章节	内容
欧拉公式的推导	从麦克劳林级数到欧拉公式
复数与和角公式	用欧拉公式从复数角度推导和角公式
容易理解的积化和差	积化和差的推导
积化和差	积化和差快速方法
和差化积	和差化积快速方法

欧拉公式的推导

用麦克劳林级数即可：

$$\begin{aligned} \cos(x) &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!} \\&= 1 - \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+... \\ \sin(x) &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!} \\&= x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+... \\ \end{aligned}$$

因此对 $e^{x i}$ 进行展开，就有：

$$\begin{aligned} e^{x} &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(ix)^{n}}{n!} \\&= 1+ ix + \frac{(ix)^{2}}{2!} + \frac{(ix)^{3}}{3!} + ...+\frac{(ix)^{2n}}{2n!}+\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!} +... \\&= 1+ ix - \frac{x^{2}}{2!} - \frac{i(x)^{3}}{3!} + ...-\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n!}-\frac{i(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} +... \\&= \left(1 - \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+...\right) + i\left(x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...\right) \\&=\sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!}+i \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!} \\&= \cos(x) + i\sin(x) \end{aligned}$$

注意这里的 $i=\sqrt{-1},i^{2}=-1,i^{3}=-\sqrt{-1},i^{4}=1$ 因此系数才能变换为 $(-1)^{n}$。

复数与和角公式

由于数学定理都是自闭合的，不会出现证出一团东西的情况，可以用正余弦函数倍角公式来推导和差化积，积化和差，也一定可以用欧拉公式来推导。

$$e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)$$

假定现在有两个角 $\alpha$ 和 $\beta$ 于是就能有：

$$\begin{aligned} e^{i\alpha} &= \cos(\alpha) + i\sin(\alpha) \\ e^{i\beta} &= \cos(\beta) + i\sin(\beta) \\ \end{aligned}$$

于是就有：

$$\begin{aligned} e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} &= [ \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)] \cdot [\cos(\beta) + i\sin(\beta)] \\ e^{i(\alpha+\beta)} &= \\ \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) &= [\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)]+ i[\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)] \end{aligned}$$

根据复数性质，实部对实部，虚部对虚部，就必然有：

$$\begin{align} \cos(\alpha+\beta) &= \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) &= \cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)\\ \end{align}$$

得到了和差角公式。

容易理解的积化和差

稍微变形一下就能有：

$$\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) &= \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \cos(\alpha-\beta) &= \cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta) \end{aligned}$$

两式求和有：

$$\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) &= 2\cos(\alpha)\cos(\beta)\\ \cos(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)}{2} \end{aligned}$$

两式做差有：

$$\begin{aligned} \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) &= 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \sin(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2} \end{aligned}$$

根据对称性， $\sin$ 的形式也就有：

$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &= \cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)\\ \sin(\alpha-\beta) &= -\cos(\alpha)\sin(\beta)+\sin(\alpha)\cos(\beta)\\ \end{aligned}$$

两式求和有：

$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) &= 2\sin(\alpha)\cos(\beta)\\ \sin(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)}{2} \end{aligned}$$

两式做差有：

$$\begin{align} \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) &= 2\cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \cos(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)}{2}\\ \end{align}$$

也就是有了：

$$\begin{aligned} \cos(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)}{2} \\ \sin(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2} \\ \sin(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)}{2} \\ \cos(\alpha)\sin(\beta) &= -\frac{\sin(\alpha-\beta) - \sin(\alpha+\beta)}{2}\\ \end{aligned}$$

积化和差

和角公式有更快的求法。现假设 $x$ 和 $y$ 有：

$$\begin{cases} a = x + y \\ b = x - y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{a+b}{2} \\ y = \frac{a-b}{2} \end{cases}$$

也就是对于：

$$\begin{aligned} \underbrace{\cos(\alpha+\beta)}_{a} &= \underbrace{\cos(\alpha)\cos(\beta)}_{x}-\underbrace{\sin(\alpha)\sin(\beta)}_{y} \\ \underbrace{\cos(\alpha-\beta)}_{b} &= \underbrace{\cos(\alpha)\cos(\beta)}_{x}+\underbrace{\sin(\alpha)\sin(\beta)}_{y} \\ \\ \underbrace{\sin(\alpha+\beta)}_{a} &= \underbrace{\cos(\alpha)\sin(\beta)}_{y}+ \underbrace{\sin(\alpha)\cos(\beta)}_{x} \\ \underbrace{\sin(\alpha-\beta)}_{b} &= -\underbrace{\cos(\alpha)\sin(\beta)}_{y}+ \underbrace{\sin(\alpha)\cos(\beta)}_{x} \end{aligned}$$

可以直接得到：

$$\begin{aligned} \cos(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)}{2} \\ \sin(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2} \\ \sin(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2} \\ \cos(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)}{2}\\ \end{aligned}$$

和差化积

同样对于积化和差，还是一样的变形式，不过为了直观，换了下符号：

$$\begin{cases} \alpha = a + b \\ \beta = a - b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha = \frac{a+b}{2} \\ \beta = \frac{a-b}{2} \end{cases}$$

直接变形就能有：

$$\begin{aligned} \cos(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2}) &=\frac{\cos(a) + \cos(b)}{2} \\ \sin(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2}) &= \frac{\cos(b) - \cos(a)}{2} \\ \sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2}) &=\frac{\sin(b) + \sin(a)}{2} \\ \cos(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2}) &= \frac{\sin(a) - \sin(b)}{2}\\ \end{aligned}$$

稍微挪一下，换个符号，就有了和差化积的公式：

$$\begin{aligned} \cos(\alpha) + \cos(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \cos(\beta) - \cos(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \sin(\beta) + \sin(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \sin(\alpha) - \sin(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \end{aligned}$$

参考文献

[1] Г.М.菲赫金哥尔茨.数学分析原理.北京：高等教育出版社，2013
[2] 吉米多维奇.吉米多维奇数学分析习题集.北京：高等教育出版社，2010
[3] 沐定夷，谢惠民.吉米多维奇数学分析习题集学习指引.北京：高等教育出版社，2010