LaTeX 常被用作科学文献的排版，基本上论文都是用 Tex 进行排版，生成 PDF。得益于 Markdown 标记语言的推广，排版交给了 Markdown 渲染器，而 LaTeX 只负责生成数学公式。采用 Markdown 书写数学公式的最大原因还是因为字丑，写下的公式隔几天就认不得了。

整个篇章结构如下：

章节 内容
单行 LaTeX 公式 一些简单的 LaTeXLaTeX 符号和单行公式组合
多行 LaTeX 公式 复杂的 LaTeXLaTeX 多行公式和矩阵
示例公式 数学和物理中的一些简单的公式

LaTeX 环境

支撑 LaTeX\LaTeX 的环境有很多，区别于传统的 Tex，一些 Markdown 编辑器都支持，比方说：

名称 链接
MarkText marktext/marktext
Obsidian Obsidian
Typora typora.io

这里推荐使用 Obsidian 作为笔记工具，Obsidian 支持大量插件，可以方便进行同步。尤其是 Completr 插件，能够实现前后文补全和 LaTeX\LaTeX 数学公式的提示补全。

单行 LaTeX 公式

下面总结的是在数学与物理中高频使用的 LaTeX\LaTeX 符号，使用这些基本上可以完成绝大部分的数学与物理公式推导。个人感觉 LaTeX\LaTeX 其实比 Word 之类的，写数学公式要方便，写 LaTeX\LaTeX 就和写代码一样，很快，很方便，不用费心思去寻找某一个符号。用 LaTeX\LaTeX 写数学公式，学起来不难，多打几个公式就熟练了。

通用

代码 符号 说明
a^{b} aba^{b} 上标
a_{b} aba_{b} 上标
a_{_b} aba_{_b} 下标多字符
\frac{a}{b} ab\frac{a}{b} 分数（fraction）

基本

运算符

代码 符号 说明
\times ×\times 乘号
\cdot ⋅\cdot 中间点（乘法）
\div ÷\div 除号
\sqrt{a} a\sqrt{a} 根号
\sqrt[n]{2} 3n\sqrt[n]{3} 根号
a \bmod b a mod ba \bmod b 同余

键盘上有的符号，比方说 +、- 、= 都没有对应的 LaTeX\LaTeX 表达式，需要用这些符号时直接输入即可。

符号

代码 符号 说明
\pm ±\pm 正负号
\le ≤\le 小于等于
\ge ≥\ge 大于等于
\neq ≠\neq 不等于
\approx ≈\approx 约等于
\equiv ≡\equiv 恒等于
\propto ∝\propto 正相关于

上表没有没有大于号、小于号以及等于号，因为他们就是键盘上的 >、< 和 = 。

集合

代码 符号 说明
\Rightarrow ⇒\Rightarrow 双线右箭头
\rightarrow →\rightarrow 右箭头
\Leftarrow ⇐\Leftarrow 双线左箭头
\Leftrightarrow ⇔\Leftrightarrow 双箭头
\in ∈\in 元素属于
\subset ⊂\subset 子集
\subseteq ⊆\subseteq 真子集
\exists ∃\exists 存在
\forall ∀\forall 对于所有
\boxed □\Box 正方形（证毕）
\{x \in s∣0 \leq x < \infty \} {x∈s∣0≤x<∞}\{x \in s∣0 \leq x < \infty \} 集合

这里的符号，在别的地方会有不同的含义，请以具体运用的地方为准。

对于 { 和 } 两个符号是 LaTeX 保留格式，需要加上斜杆 \ 进行转义，也就是 \{ 和 \} 。

数列

代码 符号 说明
a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} a1+a2+⋯+ana_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} 省略号
\sum \limits_{i=1}^{n} ∑i=1n\sum \limits_{i=1}^{n} 连加
\sum_{i=1}^{n} ∑i=1n\sum_{i=1}^{n} 连加（单行）
  • For modular equivalence, use \pmod like this: a\equiv b\pmod n a≡b(modn)�≡�(mod�). For the binary mod operator, use \bmod like this: a\bmod 17

微积分

算式

代码 符号 说明
\lim \limits_{\Delta \rightarrow 0} x_{\Delta} lim⁡Δ→0xΔ\lim \limits_{\Delta \rightarrow 0} x_{\Delta} 极限
\inf ∫\int 积分号
\inf^{1}_{0} \, dx ∫01 dx\int^{1}_{0} \, dx 定积分
dx dxd x 微分
\partial x ∂x\partial x 偏微分
\sum \limits_{i=1}^{n} ∑i=1n\sum \limits_{i=1}^{n} 连加
\sum_{i=1}^{n} ∑i=1n\sum_{i=1}^{n} 连加（单行）
\prod \limits_{i=1}^{n} ∏i=1n\prod \limits_{i=1}^{n} 连乘
\oint_{G} ∮G\oint_{G} 环积分
\iinf ∬\iint 重积分号

有的地方会说微分应当是用\rm{d} x 也就是 dx\rm{d} x，这样子看起来更正式一点。但实际上用 dx 即 dxdx 就行了，没必要那么麻烦。

连加和极限推荐用 \limits 来进行约束，这样子可以强制上下标，而非并做一行 lim⁡Δ→0xΔ\lim_{\Delta \rightarrow 0} x_{\Delta} 和 ∑i=1n\sum_{i=1}^{n} 。

符号

代码 符号 说明
\infty ∞\infty 无穷

实部虚部

代码 符号 说明
\Re\{\} ℜ{a}\Re\{ a \} 虚部
\Im\{\} ℑ{a}\Im\{ a \} 虚部

同余取模

代码 符号 说明
a\bmod 17 a mod 17a\bmod 17 模（余）
a\equiv b\pmod n a≡b(modn)a \equiv b\pmod n 同余

物理

代码 符号 说明
\vec{F} F⃗\vec {F} 矢量
\hat{x} x^\hat{x} 尖帽
\dot{x} x˙\dot{x} 上一点/一阶导数
\ddot{x} x¨\ddot{x} 上两点/二阶导数
\nabla ∇\nabla 算子

字母表

代码 字母 代码 字母
\alpha α\alpha \nu ν\nu
\beta β\beta \xi ξ\xi
\gamma γ\gamma \omicron ο\omicron
\delta δ\delta \pi π\pi
\epsilon ϵ\epsilon \rho ρ\rho
\zeta ζ\zeta \sigma σ\sigma
\eta η\eta \tau τ\tau
\theta θ\theta \upsilon υ\upsilon
\iota ι\iota \phi ϕ\phi
\kappa κ\kappa \chi χ\chi
\varkappa ϰ\varkappa \psi ψ\psi
\lambda λ\lambda \omega ω\omega
\mu μ\mu

异体字

代码 字母 代码 字母 代码 字母
\Epsilon EE E ϵ\epsilon \varepsilon ε\varepsilon
\Theta Θ\Theta \theta θ\theta \vartheta ϑ\vartheta
\Kappa KK K κ\kappa \varkappa ϰ\varkappa
\Pi Π\Pi \pi π\pi \varpi ϖ\varpi
\Rho PP P ρ\rho \varrho ϱ\varrho
\Sigma Σ\Sigma \sigma σ\sigma \varsigma ς\varsigma
\Phi Φ\Phi \phi ϕ\phi \varphi φ\varphi

一些希腊字母的大写，在 LaTeX\LaTeX 当中就是英文字母大写。

字体设置

文字样式

代码 符号 说明
\boxed{text} text\boxed{text} 文字加边框
A\large{A} AAA\large{A} 加大字体
A\small{A} AAA\small{A} 缩小字体
A\boldsymbol{A} AAA\boldsymbol{A} 加粗字体
A\mathbb{A} AAA\mathbb{A} 空心字体

详细的字体形式可以查阅 LaTeX\LaTeX 的文档， LaTeX\LaTeX 也支持彩色显示。

其他

代码 符号 说明
\stackrel{a}{b} ba\stackrel{a}{b} 下大上小
a \atop b aba \atop b 下大等大小
\overline{a + b} a+b‾\overline{a + b} 上划线，共轭
\underline{a + b} a+b‾\overline{a + b} 上划线，共轭

在 LaTeX\LaTeX 中，上方符号一般带 over 下方一般带 under。

多行 LaTeX 公式

括号

括号大小自适应

使用 \left 和 \right 关键词，实现自适应大小的括号：

sin⁡(x)\sin \left ( x \right ) 

1
\sin \left (  x  \right )

小号：

sin⁡(x)\sin \left ( x \right )

中号：

sin⁡(x2)\sin \left ( x^2 \right )

大号：

sin⁡(π2x)\sin \left ( \frac{\pi}{2}x \right )

超大号：

sin⁡(ex2)\sin \left ( \frac{e^x}{\sqrt2} \right )

无论里面的内容多大，都会根据 \left 和 \right 之间的高度来调整大小。

上下括号

上括号 \overbrace 下括号 \underbrace

a+b+c+d+e+f⏟123321\underbrace{a+b+c+d+e+f}_{123321} 

1
\underbrace{a+b+c+d+e+f}_{123321}

和上括号：

a+b+c+d+e+f⏞123321\overbrace{a+b+c+d+e+f}^{123321} 

1
\overbrace{a+b+c+d+e+f}^{123321}

如果这里的括号显示残缺，十有八九是编辑器的缩放问题，导致渲染不完全，试着放大页面即可解决。

多行对齐

多行需要用到块，固定是 \begin{} 和 \end{} 组成对，不可嵌套，也不可交叠。

一般文本块的标识是 aligned 即 \begin{aligned} 和 \end{aligned}，在块中使用 & 实现任意位置对齐，配合 \\ 进行换行：

x+y+z=1,x>2y−z=2,z<1\begin{aligned} x + y + z &= 1, & x>2 \\ y-z&=2, &z<1 \end{aligned} 

1
2
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4
\begin{aligned}
x + y + z &= 1, & x>2 \\
y-z&=2,  &z<1
\end{aligned}

其中的 & 是对齐标志位，在 align 默认左边第一个左对齐，剩下一律靠右。

比方说傅里叶级数：

fN(x)=B0+∑k=1NBkcos⁡(kω0x)+∑k=1NCksin⁡(kω0x)\begin{aligned} f_N(x) = B_{0} + \sum \limits^{N}_{k = 1} B_{k} \cos (k \omega_0 x) + \sum \limits^{N}_{k = 1} C_{k} \sin (k \omega_{0} x) \\ \end{aligned}

的各项系数，可以用 & 实现对齐：

{B0=1T0∫0T0f(x)dxBk=2T0∫0T0f(x)cos⁡(kω0x)dx, (k∈[1,+∞), T0=2πω0)Ck=2T0∫0T0f(x)sin⁡(kω0x)dx, (k∈[1,+∞), T0=2πω0)\left \{ \begin{aligned} &B_0 = \frac{1}{T_0} \int^{T_0}_{0} f(x) dx \\ &B_k = \frac{2}{T_0} \int^{T_0}_{0} f(x) \cos (k \omega_0 x) dx, \ (k\in[1, +\infty) ,\ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0})\\ &C_k = \frac{2}{T_0} \int^{T_0}_{0} f(x) \sin (k \omega_0 x) dx, \ (k\in[1, +\infty) ,\ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0})\\ \end{aligned} \right .

多行算式

用 \left \{ 和 \right 标识对，包住了 \begin{aligned} 和 \end{aligned} 块，可以在块外面生成一个大括号，实现表达分段函数：

f(x)={1,x=02,x=1f(x)= \left \{ \begin{aligned} &1, &x=0 \\ &2, &x=1 \\ \end{aligned} \right . 

1
2
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5
6
7
f(x)=
\left \{
\begin{aligned}
&1, &x=0 \\
&2, &x=1 \\
\end{aligned}
\right .

最简洁的是用 \cases{} 直接在括号里面输入公式，即可实现多行，优点是可以在 \begin{align} 和 \end{align} 对的块内使用，缺点是无法输入分数，至少我目前使用的渲染器不支持。

f(x)= \cases{ 1, &x=0 \\ 2, &x=1 \\ } 

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5
f(x)=
\cases{
1, &x=0 \\
2, &x=1 \\
}

简洁起见，用 case 也就是 \begin{case}\end{cases} 对也可以实现：

f(x)={1,x=02,x=1f(x)= \begin{cases} 1, &x=0 \\ 2, &x=1 \\ \end{cases} 

1
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3
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5
f(x)=
\begin{cases}
1, &x=0 \\
2, &x=1 \\
\end{cases}

注意这里的 \begin{case}\end{cases} 对固定是 { 形式的符号，无法改变。

阵列

数阵

数阵是 matrix ，即 \begin{matrix} 和 \end{matrix} 一对组成块，当中使用 & 做分割号，和其他块一样，采用 \\ 作为换行标识。

1234\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} 

1
2
3
4
\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{matrix}

行列式

行列式是 vmatrix ，即采用 \begin{vmatrix} 和 \end{vmatrix} 一对组成块：

∣1234∣\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} 

1
2
3
4
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{vmatrix}

矩阵

矩阵是 bmatrix，采用 \begin{bmatrix} 和 \end{bmatrix} 一对：

[1234]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} 

1
2
3
4
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}

带省略矩阵

带省略矩阵在矩阵的基础上，采用 \ddots (⋱\ddots) 、 \vdots (⋮\vdots) 和 \cdots (⋯\cdots) 构成：

[0⋯0⋮⋱⋮0⋯0]\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} 

1
2
3
4
5
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 \\
\end{bmatrix}

以上语法，可能看起来非常拥挤，实际上这样子写也是可以的：

1
2
3
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5
6
7
8
\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0
\\
\vdots & \ddots & \vdots 
\\
0 & \cdots & 0
\\
\end{bmatrix}

表格

表格用的是 array 即 \begin{array} 与 \end{array} 一对，可以用来表示真值表：

abXOR000011101110\begin{array}{|c|c|c|} a & b & XOR \\ \hline 0&0&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\\ \end{array} 

1
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5
6
7
\begin{array}{|c|c|c|} a & b & XOR \\
\hline
0&0&0\\
0&1&1\\
1&0&1\\
1&1&0\\
\end{array}

示例公式

只需要多写，多练习，就能很自然地掌握 LaTeX\LaTeX 公式排版，事实上，LaTeX\LaTeX 公式表中的公式只会用到一部分，只需要掌握这一小部分，就能应付绝大部分情况。

这里是一些数学和物理中常见的大型公式，基本上涵盖了大部分使用 LaTeX\LaTeX 公式的情况。

欧拉公式

ejπ=1ejθ=cos⁡(θ)+jsin⁡(θ)\begin{aligned} e^{j \pi} &= 1 \\ e^{j\theta} &= \cos(\theta) + j\sin(\theta) \end{aligned} 

1
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\begin{aligned}
e^{i \pi} &= 1
\\
e^{i\theta} &= \cos(\theta) + i\sin(\theta)
\end{aligned}

平均数

Hn=n1a1+1a2+...+1an(调和平均数)Gn=a1⋅a2⋅...⋅ann(几何平均数)An=a1+a2+...+ann(算术平均数)Qn=a12+a22+...+an2n(平方平均数)\begin{aligned} H_{n} &= \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}} &(调和平均数)\\ \\ G_{n} &= \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}} &(几何平均数)\\ \\ A_{n} &= \frac{a_{1}+ a_{2}+...+a_{n}}{n} &(算术平均数)\\ \\ Q_{n} &= \sqrt{\frac{a^{2}_{1} + a^{2}_{2} +...+ a^{2}_{n}}{n}} &(平方平均数)\\ \end{aligned} 

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\begin{aligned}
H_{n} &= \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}}
&(调和平均数)\\
\\
G_{n} &= \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}
&(几何平均数)\\
\\
A_{n} &= \frac{a_{1}+ a_{2}+...+a_{n}}{n}
&(算术平均数)\\
\\
Q_{n} &= \sqrt{\frac{a^{2}_{1} + a^{2}_{2} +...+ a^{2}_{n}}{n}}
&(平方平均数)\\
\end{aligned}

和差化积，积化和差

积化和差

cos⁡(α)cos⁡(β)=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2sin⁡(α)sin⁡(β)=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2sin⁡(α)cos⁡(β)=sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)2cos⁡(α)sin⁡(β)=sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)2\begin{aligned} \cos(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)}{2} \\ \sin(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2} \\ \sin(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2} \\ \cos(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)}{2}\\ \end{aligned} 

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\begin{aligned}
\cos(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)}{2}
\\
\sin(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2}
\\
\sin(\alpha)\cos(\beta) &=\frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2}
\\
\cos(\alpha)\sin(\beta) &= \frac{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)}{2}\\
\end{aligned}

和差化积

cos⁡(α)+cos⁡(β)=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)cos⁡(β)−cos⁡(α)=2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)sin⁡(β)+sin⁡(α)=2sin⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)sin⁡(α)−sin⁡(β)=2cos⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)\begin{aligned} \cos(\alpha) + \cos(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \cos(\beta) - \cos(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \sin(\beta) + \sin(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \sin(\alpha) - \sin(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) \\ \end{aligned} 

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\begin{aligned}
\cos(\alpha) + \cos(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})
\\
\cos(\beta) - \cos(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})
\\
\sin(\beta) + \sin(\alpha) &= 2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})
\\
\sin(\alpha) - \sin(\beta) &= 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})
\\
\end{aligned}

麦克斯韦方程组

∇⋅E=ρc0∇×E=∂B∂t∇×B=jc0c2∇⋅B=0\begin{aligned} \nabla \cdot E &= \frac{\rho}{c_{0}} \\ \nabla \times E &= \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times B &= \frac{j}{c_{0}c^{2}} \\ \nabla \cdot B &= 0 \end{aligned} 

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\begin{aligned}
\nabla \cdot E &= \frac{\rho}{c_{0}}
\\
\nabla \times E &= \frac{\partial B}{\partial t}
\\
\nabla \times B &= \frac{j}{c_{0}c^{2}}
\\
\nabla \cdot B &= 0
\end{aligned}

麦克劳林级数

几个常见函数的麦克劳林级数展开：

ex=∑n=0+∞(jx)nn!=1+jx+(jx)22!+(jx)33!+...+(jx)2n2n!+(jx)2n+1(2n+1)!+...cos⁡(x)=∑n=0+∞(−1)nxn(2n+1)!=1−x22!+x44!+...+(−1)nx2n(2n)!+...sin⁡(x)=∑n=0+∞(−1)nxn(2n+1)!=x−x33!+x55!+...+(−1)nx2n+1(2n+1)!+...\begin{aligned} e^{x} &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(jx)^{n}}{n!} \\&= 1+ jx + \frac{(jx)^{2}}{2!} + \frac{(jx)^{3}}{3!} + ...+\frac{(jx)^{2n}}{2n!}+\frac{(jx)^{2n+1}}{(2n+1)!} +... \\ \cos(x) &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!} \\&= 1 - \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+... \\ \sin(x) &= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!} \\&= x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+... \\ \end{aligned} 

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\begin{aligned}
e^{x} 
&= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(jx)^{n}}{n!}
\\&= 1+ jx + \frac{(jx)^{2}}{2!} + \frac{(jx)^{3}}{3!} + ...+\frac{(jx)^{2n}}{2n!}+\frac{(jx)^{2n+1}}{(2n+1)!} +...
\\
\cos(x) 
&= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!}
\\&= 1 - \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+...
\\
\sin(x) 
&= \sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{(2n+1)!}
\\&= x - \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...
\\
\end{aligned}

傅里叶变换

连续信号傅里叶级数

周期为 TT 的连续信号 x(t)x(t) 变换到 无穷区间上 ∞\infty 离散的 aka_{k}

ak=1T∫Tx(t)ejkω0tdtx(t)=∑k=−∞+∞akejkωt(2πω0=T)\begin{aligned} a_{k} &= \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{j k \omega_{0}t}dt \\ x(t) &= \sum \limits^{+\infty}_{k=-\infty} a_{k}e^{j k \omega t} &\left(\frac{2\pi}{\omega_{0}}= T\right)\\ \end{aligned} 

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\begin{aligned}
a_{k} &= \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{j k \omega_{0}t}dt
x(t) &= \sum \limits^{+\infty}_{k=-\infty} a_{k}e^{j k \omega t} 
&\left(\frac{2\pi}{\omega_{0}}= T\right)\\
\end{aligned}

连续信号傅里叶变换

周期延拓到无穷区间上 ∞\infty 的连续信号 x(t)x(t) 变换到 无穷区间上 ∞\infty 连续的 X(jω)X(j \omega)

X(jω)=∫−∞+∞x(t)e−jωtdtx(t)=12π∫−∞+∞X(jω)ejωtdω\begin{aligned} X(j \omega) &= \int^{+\infty}_{-\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt \\ x(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int^{+\infty}_{-\infty}X(j \omega) e^{j \omega t}d\omega \end{aligned} 

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\begin{aligned}
X(j \omega) &= \int^{+\infty}_{-\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt 
\\
x(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int^{+\infty}_{-\infty}X(j \omega) e^{j \omega t}d\omega
\end{aligned}

离散信号傅里叶变换

延拓到无穷大的离散信号 x[n]x[n] ，变换到周期 2π2 \pi 上连续的 X(ejω)X(e^{j \omega})

X(ejω)=∑n=−∞+∞x[n]ejωnx[n]=12π∫2πX(ejω)ejωndω\begin{aligned} X(e^{j \omega}) &= \sum \limits^{+\infty}_{n=-\infty} x[n] e^{j \omega n}\\ x[n] &= \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j \omega})e^{j \omega n}d \omega \\ \end{aligned} 

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\begin{aligned}
X(e^{j \omega}) &= \sum \limits^{+\infty}_{n=-\infty} x[n] e^{j \omega n}\\
x[n] &= \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j \omega})e^{j \omega n}d \omega \\
\end{aligned}

离散信号傅里叶级数

从有限的 N−1N-1 离散信号 x[n]x[n] 到变换到有限的 N−1N-1 离散信号 aka_{k}

ak=∑n=0N−1x[n]e−j2πNnkx[n]=1N∑k=0N−1akej2πNnk\begin{aligned} a_{k} &= \sum \limits^{N-1}_{n=0}x[n]e^{-j \frac{2\pi}{N} nk} \\ x[n] &= \frac{1}{N} \sum \limits^{N-1}_{k=0}a_{k}e^{j \frac{2\pi}{N} nk} \end{aligned} 

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\begin{aligned}
a_{k} &= \sum \limits^{N-1}_{n=0}x[n]e^{-j \frac{2\pi}{N} nk} \\
x[n] &= \frac{1}{N} \sum \limits^{N-1}_{k=0}a_{k}e^{j \frac{2\pi}{N} nk}
\end{aligned}

复数积分

这里只是个例子，比方说对这个式子进行积分

∫−∞+∞sin⁡(ωt)tdt=π\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(\omega t)}{t}dt = \pi 

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\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(\omega t)}{t}dt = \pi

用费曼积分方法可以得到结果为 π\pi ，这里给出更容易理解的过程。由于这个函数非常难积分，不妨设：

I(a)=∫0+∞sin⁡(t)te−atdtI(a) = \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt 

1
I(a) = \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt

显然有：

I(0)=∫0+∞sin⁡(t)te−0tdt=∫0+∞sin⁡(t)tdtI(+∞)=lim⁡a→∞∫0+∞sin⁡(t)te−atdt=0\begin{align} I(0) &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-0t}dt \\ &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt \\ I(+\infty) &= \lim\limits_{a \to \infty} \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt \\ &= 0 \end{align} 

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\begin{align}
I(0) &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-0t}dt
\\
&= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt
\\
I(+\infty) &= \lim\limits_{a \to \infty} \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt
\\
&= 0
\end{align}

两边对 aa 求导，就能有：

ddaI(a)=dda∫0+∞sin⁡(t)te−atdtI′(a)=∫0+∞sin⁡(t)t⋅−te−atdt=∫0+∞sin⁡(t)t⋅−te−atdt=−∫0+∞j2[ejt−e−jt]e−atdt=12j∫0+∞e−(a+j)t−e−(a−j)tdt=−12j[1a+je−(a+j)t−1a−je−(j−a)t]0+∞=−12j[1a+j(0−1)−1a−j(0−1)]=12j[1a+j−1a−j]=12j−2ja2−1=−1a2+1\begin{aligned} \frac{d}{da}I(a) &= \frac{d}{da} \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt \\ I'(a) &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} \cdot -t e^{-at}dt \\ &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} \cdot -t e^{-at}dt \\ &= -\int^{+\infty}_{0} \frac{j}{2}[e^{jt}-e^{-jt}] e^{-at}dt \\ &= \frac{1}{2j}\int^{+\infty}_{0}e^{-(a+j)t}-e^{-(a-j)t}dt \\ &= -\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}e^{-(a+j)t}-\frac{1}{a-j}e^{-(j-a)t}\right]^{+\infty}_{0} \\ &=-\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}(0-1)-\frac{1}{a-j}(0-1)\right] \\ &=\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}-\frac{1}{a-j}\right] \\ &=\frac{1}{2j}\frac{-2j}{a^{2}-1} \\ &= \frac{-1}{a^{2}+1} \end{aligned} 

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\begin{aligned}
\frac{d}{da}I(a) &= \frac{d}{da} \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} e^{-at}dt
\\
I'(a) &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} \cdot -t e^{-at}dt
\\
&= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} \cdot -t e^{-at}dt
\\
&= -\int^{+\infty}_{0} \frac{j}{2}[e^{jt}-e^{-jt}] e^{-at}dt
\\
&= \frac{1}{2j}\int^{+\infty}_{0}e^{-(a+j)t}-e^{-(a-j)t}dt
\\
&= -\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}e^{-(a+j)t}-\frac{1}{a-j}e^{-(j-a)t}\right]^{+\infty}_{0}
\\
&=-\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}(0-1)-\frac{1}{a-j}(0-1)\right]
\\
&=\frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{a+j}-\frac{1}{a-j}\right]
\\
&=\frac{1}{2j}\frac{-2j}{a^{2}-1}
\\
&= \frac{-1}{a^{2}+1}
\end{aligned}

再重新对 aa 积分就有：

∫0+∞I′(a)=I(+∞)−I(0)∫0+∞−1a2+1da=0−∫0+∞sin⁡(t)tdt∫0+∞1a2+1da=∫0+∞sin⁡(t)tdtarctan⁡(a)∣0+∞=π2−0=π2=π=∫−∞+∞sin⁡(t)tdt\begin{aligned} \int^{+\infty}_{0} I'(a) &= I(+\infty) - I(0) \\ \int^{+\infty}_{0} \frac{-1}{a^{2}+1} da &= 0-\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt \\ \int^{+\infty}_{0} \frac{1}{a^{2}+1} da &= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt \\ \arctan(a)|^{+\infty}_{0} &= \\ \frac{\pi}{2} - 0 &= \\ \frac{\pi}{2} &= \\ \pi &= \int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(t)}{t} dt \end{aligned} 

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\begin{aligned}
\int^{+\infty}_{0} I'(a) &= I(+\infty) - I(0)
\\
\int^{+\infty}_{0} \frac{-1}{a^{2}+1} da 
&= 0-\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt
\\
\int^{+\infty}_{0} \frac{1}{a^{2}+1} da 
&= \int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(t)}{t} dt
\\ 
\arctan(a)|^{+\infty}_{0} 
&= 
\\
\frac{\pi}{2} - 0
&= 
\\
\frac{\pi}{2}
&= 
\\
\pi
&= \int^{+\infty}_{-\infty}\frac{\sin(t)}{t} dt
\end{aligned}

这个方法已经比直接积分简单很多了，看着很长，实际上只是加入了一个抑制 e−ate^{-at} 后进行积分，用了复数的方法化简了过程。费曼积分法也是加入了一个因子，只不过用的是纯初等变换的方法，比复数方法稍微复杂一点点。

参考资料

【1】：转载-LaTeX各种符号 | SnailDove’s blog
【2】：LaTeX 各种命令，符号_GarfieldEr007的博客客
【3】：【LaTeX应用】常用数学公式和符号
【4】：Latex#对齐（align）#入门教程
【5】：帮助:数学公式 - 维基百科
【6】：MathJax basic tutorial and quick reference - Mathematics Meta Stack Exchange